【電気回路クイズ】6Ωが3つと3Ωが1つ！A−B間の合成抵抗を求めよう

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突然ですが、電気回路の問題です！

下の回路において、端子Aと端子Bの間の合成抵抗は何Ωになるでしょうか？

回路には、次の抵抗が接続されています。

• 6Ωの抵抗が3つ
• 3Ωの抵抗が1つ

抵抗の数だけを見ると、それほど難しい回路には見えないかもしれません。

しかし、導線が回路の上側を通っているため、抵抗の接続関係が分かりにくくなっています。

この問題を解くポイントは、回路図の形ではなく、導線でつながっている場所を同じ接続点として考えることです。

まずは接続点を確認しよう

端子Aから伸びている導線をたどってみましょう。

端子Aは、左上に伸びる導線を通って、回路の右上まで直接つながっています。

理想的な導線の抵抗は0Ωです。

そのため、端子Aと回路の右上は同じ接続点として扱うことができます。

回路図の上側を通る導線は遠回りしているように見えますが、途中に抵抗はありません。

したがって、導線で直接つながっている場所は、すべて同じ電位になります。

上側の2つの6Ωに注目しよう

回路上部には、6Ωの抵抗が2つ横に並んでいます。

一見すると、この2つは直列に接続されているように見えます。

しかし、それぞれの接続点を確認すると、直列ではないことが分かります。

左側の6Ωは、

• 一端が端子A
• もう一端が中央の接続点

につながっています。

右側の6Ωも、

• 一端が中央の接続点
• もう一端が上側の導線を通して端子A

につながっています。

つまり、2つの6Ω抵抗は、どちらも「端子A」と「中央の接続点」の間に接続されています。

両端が同じ2つの接続点につながっているため、この2つの6Ωは並列接続です。

2つの6Ωの合成抵抗を求める

並列接続された2つの6Ω抵抗の合成抵抗を、R₁とします。

並列回路の合成抵抗は、次の式で求められます。

計算すると、

したがって、

R₁=3Ω

となります。

同じ抵抗値の抵抗を2つ並列に接続した場合、合成抵抗は元の抵抗値の半分になります。

そのため、

6Ω ÷ 2 = 3Ω

と考えても構いません。

回路を書き直してみよう

上側の2つの6Ωを、合成抵抗である3Ωに置き換えます。

すると、端子Aから中央の接続点までが3Ωになります。

さらに、中央の接続点から端子Bまでは、もともとある3Ωの抵抗でつながっています。

この2つの3Ω抵抗は、途中の接続点にほかの電流の分岐がないため、直列接続です。

したがって、この経路の合成抵抗をR₂とすると、

R₂=3+3=6Ω

となります。

つまり、端子Aから中央の接続点を通って端子Bへ向かう経路は、合計6Ωです。

右側にも6Ωの経路がある

ここで、回路の右側にある6Ωの抵抗にも注目してください。

この6Ω抵抗の上側は、上側の導線を通して端子Aにつながっています。

抵抗の下側は、下側の導線を通して端子Bにつながっています。

したがって、右側の6Ω抵抗は、端子Aと端子Bの間に直接接続されています。

ここまで回路を整理すると、端子Aと端子Bの間には、次の2つの経路があることが分かります。

• 中央を通る合成抵抗6Ωの経路
• 右側にある6Ωの経路

この2つの経路は、どちらも端子Aと端子Bの間に接続されています。

したがって、2つの6Ωが並列に接続された回路として考えられます。

A−B間の合成抵抗を求めよう

最後に、2つの6Ωを並列合成します。

A−B間の合成抵抗をRとすると、

$\frac{1}{R}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$

計算すると、

$\frac{1}{R}=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}$

したがって、

R=3Ω

よって、端子Aと端子Bの間の合成抵抗は、

$\boxed{R=3\Omega}$

となります。

別の式でまとめて確認しよう

今回の回路は、次のようにまとめることができます。

まず、上側の2つの6Ωを並列合成します。

その3Ωと、中央にある3Ωを直列にします。

$6\parallel6=3\Omega$

3+3=6Ω

最後に、その6Ωと右側の6Ωを並列にします。

$6\parallel6=3\Omega$

したがって、回路全体の計算は次のように表せます。

$R=\left\{\left(6\parallel6\right)+3\right\}\parallel6$

$R=(3+3)\parallel6$

$R=6\parallel6=3\Omega$

ここで使用している「∥」は、2つの抵抗が並列接続されていることを表します。

間違えやすい考え方

この問題では、回路図の見た目だけで判断すると、抵抗の接続関係を間違えやすくなります。

上側の2つの6Ωを直列と考えてしまう

上側の6Ω抵抗は、横方向に2つ並んでいます。

そのため、

6Ω + 6Ω = 12Ω

と計算したくなるかもしれません。

しかし、右側の6Ωの端は、上側の導線によって端子Aへ戻っています。

2つの6Ω抵抗は、どちらも端子Aと中央の接続点の間にあるため、実際には並列接続です。

3つの6Ωをすべて並列と考えてしまう

回路には6Ωの抵抗が3つありますが、3つすべてが同じ接続点の間にあるわけではありません。

並列接続と判断するには、それぞれの抵抗の両端が、同じ2つの接続点につながっている必要があります。

右側の6Ωは端子Aと端子Bの間にあります。

一方、上側の2つの6Ωは、端子Aと中央の接続点の間にあります。

したがって、最初から3つの6Ωをまとめて並列計算することはできません。

抵抗値をすべて足してしまう

回路にある抵抗をすべて足して、

6 + 6 + 6 + 3 = 21Ω

とすることもできません。

すべての抵抗を足せるのは、すべてが直列に接続されている場合だけです。

今回の回路には分岐があるため、接続関係を段階的に整理する必要があります。

ポイントは「同じ接続点」を見つけること

複雑に見える回路を解くときは、導線をたどり、同じ接続点を見つけることが重要です。

理想的な導線で直接つながっている場所は、途中で曲がっていても、離れて描かれていても、電気的には同じ場所です。

今回の回路では、次の順番で整理できます。

1. 端子Aと回路の右上は、導線で直接つながっている
2. 上側の2つの6Ωは並列接続
3. 2つの6Ωの合成抵抗は3Ω
4. 合成した3Ωと中央の3Ωは直列接続
5. 中央を通る経路の合成抵抗は6Ω
6. その6Ωと右側の6Ωは並列接続
7. A−B間の合成抵抗は3Ω

まとめ

今回の回路における、端子Aと端子Bの間の合成抵抗は、

R=3Ω

です。

回路図が複雑に見えるときは、抵抗の配置や導線の形だけで判断せず、次の点を確認してみてください。

• 導線で直接つながっている場所はどこか
• それぞれの抵抗の両端は、どの接続点につながっているか
• 両端が同じ抵抗は並列になっていないか
• 途中に分岐のない抵抗は直列にまとめられないか
• 一度に解こうとせず、簡単な部分から段階的に合成できないか

合成抵抗の問題では、回路の形を整理し、同じ接続点を見つけることが正解への近道です。